разложение случайного процесса с непрерывной корреляционной функцией в ряд (20), в котором функции epft (t) являются собственны*

ми функциями интегрального уравнения фредгольма (23), называется разложением карунена — лоэва.
иногда его также называют канони­ческим разложением [2,4] или обобщенным рядом фурье [80]. Заметим, что собственные функции cpfe (t) определены уравнением (23) с точно­стью до постоянного сомножителя. Этот сомножитель можно выбрать так, чтобы ортогональные функции были ортонормированными. покажем, что выполняется равенство (19). Обозначим

&v(0=2*=i а ф* до-непосредственным вычислением найдем

м {iдо 1%
до} = м {г до s/v до} = м {inдо inдо} =*

= 21фдоф1до. поэтому

м {| iдо – ь до i3} – rдо i) - 2l х к ф, до ytдо.        (2.8.25)

ранее (с. ) указывалось, что корреляционная функция обладает ха­рактеристическим свойством неотрицательной определенности. Соглас­но известной теореме мерсера [80] неотрицательно определенная функ­ция
r (tut2) может быть разложена в равномерно сходящийся ряд по собственным значениям и собственным функциям:

rдо> t2) =%kф* до) фа до).                     >        (2.8.26)

ы

отсюда видно, что последнее слагаемое в правой чаети равенства (25) при n
-> оо сходится к r(t, t) и, следовательно, равенство (19) выпол­няется.

можно показать [81], что разложение карунена — лоэва (20), в котором некоррелированные коэффициенты определены формулой (21) и функции фь (t) есть ортонормированные решения уравнения фред­гольма, соответствующие собственным значениям {кк}, расположен­ным в порядке возрастания 0 хг х2
хв …, является таким разложением, для которого математическое ожидание интегральной среднеквадратической усеченной (при любом фиксированном n) погреш­ности аппроксимации минимально, т. Е.

м{|[~до-24фьдо] #umin.

в заключение укажем, что разложение (20) оказывается полезным на промежуточных этапах теоретического рассмотрения некоторых за­дач. однако практическая его ценность сильно ограничена двумя об­стоятельствами: процедура отыскания решений интегральных уравне­ний вида (23) в общем случае неизвестна (за исключением случая рацио­нальной спектральной плотности процесса) и разложение случайного сигнала по системе ортонормированных функций, не являющихся гар-

моническими, не имеет простой технической интерпретации. Кроме того, представление случайного процесса рядом (20) предполагает, что исходный процесс можно дифференцировать бесконечное число раз. следовательно, такое представление применимо только к сингулярным процессам (см. С. ).